Czy spacerowanie po mostach może być ciekawe dla matematyka? Okazuje się, że tak.
Leonhard Euler spędził w Rosji 31 lat (1727 – 1741 i 1766 – 1783) i w znaczący sposób przyczynił się do rozwoju tamtejszej matematyki. W 1735 roku spotkał się w Petersburgu z burmistrzem Gdańska (Carlem Leonhardem Gottliebem Ehlerem), który przekazał mu zadanie o mostach królewieckich. Burmistrz, będąc miłośnikiem matematyki usłyszał je od Heinricha Kühna profesora gimnazjum akademickiego w Gdańsku. Jego treść była następująca:
W Królewcu, w Prusach, jest wyspa A, wychodzi z niej 5 mostów na wyspy B, C i D, połączonych kolejnymi 2 mostami. Mostów jest łącznie 7 (a, b, c, d, e, f, g) (rys.1).
Czy można przejść tymi mostami tak, by przez każdy przechodzić tylko raz?
Leonhard Euler spędził w Rosji 31 lat (1727 – 1741 i 1766 – 1783) i w znaczący sposób przyczynił się do rozwoju tamtejszej matematyki. W 1735 roku spotkał się w Petersburgu z burmistrzem Gdańska (Carlem Leonhardem Gottliebem Ehlerem), który przekazał mu zadanie o mostach królewieckich. Burmistrz, będąc miłośnikiem matematyki usłyszał je od Heinricha Kühna profesora gimnazjum akademickiego w Gdańsku. Jego treść była następująca:
W Królewcu, w Prusach, jest wyspa A, wychodzi z niej 5 mostów na wyspy B, C i D, połączonych kolejnymi 2 mostami. Mostów jest łącznie 7 (a, b, c, d, e, f, g) (rys.1).
Czy można przejść tymi mostami tak, by przez każdy przechodzić tylko raz?
Rys.1
Euler problem rozwiązał, a jego odpowiedź brzmiała, że takiego przejścia nie ma. Uproszczona wersja jego rozumowania wyglądała następująco. Do wyspy A prowadzi 5 mostów więc w czasie spaceru będziemy na niej przebywać 3 razy, Pozostałe wyspy B, C, D mają po 3 mosty więc na każdej z nich będziemy 2 razy. Łącznie będziemy mieć na wyspach 9 pobytów (3 + 2 + 2 + 2). Jeżeli natomiast w czasie spaceru mielibyśmy przechodzić raz przez każdy most to tych pobytów byłoby 8 (rys. 2). Stąd widać, że takie przejście jest niemożliwe.
Euler problem rozwiązał, a jego odpowiedź brzmiała, że takiego przejścia nie ma. Uproszczona wersja jego rozumowania wyglądała następująco. Do wyspy A prowadzi 5 mostów więc w czasie spaceru będziemy na niej przebywać 3 razy, Pozostałe wyspy B, C, D mają po 3 mosty więc na każdej z nich będziemy 2 razy. Łącznie będziemy mieć na wyspach 9 pobytów (3 + 2 + 2 + 2). Jeżeli natomiast w czasie spaceru mielibyśmy przechodzić raz przez każdy most to tych pobytów byłoby 8 (rys. 2). Stąd widać, że takie przejście jest niemożliwe.
Rys.2
Wydawać by się mogło, że zajmowanie się tak błahym zagadnieniem, jak spacer po mostach jest niegodne poważnego matematyka i do nauki nie wniesie niczego istotnego. I tak na początku na sprawę popatrzył Euler. A jednak już chwilę później przedstawił problem i swoje rozwiązanie w Akademii Nauk w Petersburgu, uznając je za interesujące. Historia pokazała także, że rozważania Eulera miały związek z takimi obszarami współczesnej matematyki, jak teoria grafów i topologia, do powstania których znacząco się przyczyniły.
Zapewne wielu z nas spotkało się z zagadką polegającą na narysowaniu otwartej koperty (rys. 3 po lewej) bez odrywania ołówka od kartki. Dlaczego można to zrobić, a także dlaczego niemożliwe jest narysowanie w taki sposób zamkniętej koperty (rys. 3 po prawej) wiemy na podstawie twierdzenia Eulera. Jeżeli w wierzchołkach figury spotyka się parzysta liczba odcinków, z wyjątkiem najwyżej dwóch (początkowego i końcowego), gdzie może się ich spotkać nieparzysta liczba, to taką figurę można narysować. Wszystkie te figury, które możemy narysować za jednym pociągnięciem ołówka nazywamy grafami Eulera. Teoria grafów ma zastosowanie np. w kryptografii, ale to już jest inna opowieść.
Wydawać by się mogło, że zajmowanie się tak błahym zagadnieniem, jak spacer po mostach jest niegodne poważnego matematyka i do nauki nie wniesie niczego istotnego. I tak na początku na sprawę popatrzył Euler. A jednak już chwilę później przedstawił problem i swoje rozwiązanie w Akademii Nauk w Petersburgu, uznając je za interesujące. Historia pokazała także, że rozważania Eulera miały związek z takimi obszarami współczesnej matematyki, jak teoria grafów i topologia, do powstania których znacząco się przyczyniły.
Zapewne wielu z nas spotkało się z zagadką polegającą na narysowaniu otwartej koperty (rys. 3 po lewej) bez odrywania ołówka od kartki. Dlaczego można to zrobić, a także dlaczego niemożliwe jest narysowanie w taki sposób zamkniętej koperty (rys. 3 po prawej) wiemy na podstawie twierdzenia Eulera. Jeżeli w wierzchołkach figury spotyka się parzysta liczba odcinków, z wyjątkiem najwyżej dwóch (początkowego i końcowego), gdzie może się ich spotkać nieparzysta liczba, to taką figurę można narysować. Wszystkie te figury, które możemy narysować za jednym pociągnięciem ołówka nazywamy grafami Eulera. Teoria grafów ma zastosowanie np. w kryptografii, ale to już jest inna opowieść.
Rys.3
Korzystałem z: Antiquitates mathematicae, Vol.2 2008, pod redakcją Witolda Więsława
Korzystałem z: Antiquitates mathematicae, Vol.2 2008, pod redakcją Witolda Więsława