Wzór Eulera dla wielościanów, który pojawia się w podręcznikach dla szkół podstawowych, ma prostą postać i łatwo go sprawdzić dla znanych brył. Zależność między ilościami ścian, krawędzi i wierzchołków w danej figurze S – K + W = 2 dostrzegł w XVII wieku Kartezjusz, ale nie przywiązywał do swojego odkrycia większej wagi. Dopiero w połowie XVIII wieku równanie udowodnił Leonhard Euler.
S = 5, K = 8, W = 5 S = 6, K = 12, W = 8
Współczesna wersja dowodu sprowadza się do dwóch spostrzeżeń. Pierwsze jest takie: jeżeli wyobrazimy sobie, że przedstawione wyżej bryły zostały wykonane z „gumy”, to po ich rozciągnięciu (przekształceniu) możemy otrzymać sferę. Spostrzeżenie drugie dotyczy równania S – K + W = 2, w którym są dwa parametry dodatnie i jeden ujemny. Jeżeli S i K lub K i W zmaleją o jeden (dwa, trzy,… ) to równanie nie zmieni wartości. Postępowanie dowodowe jest przedstawione na kolejnych rysunkach. Pierwszy pokazuje schemat wielościanu uzyskany na sferze. Linie obrazują krawędzie, węzły to wierzchołki, a zamknięte obszary to ściany. Następny rysunek to sytuacja po usunięciu jednej krawędzi (linia przerywana), co prowadzi do zniknięcia jednej ściany (2 ściany zostają scalone w jedną). Na kolejnych mamy dalsze scalenia ścian przez usunięcie krawędzi. Na rysunku szóstym redukujemy jeden wierzchołek i jedną krawędź, a powtarzając taką operację dochodzimy do ostatniego rysunku, na którym widać już tylko jedną ścianę i jeden wierzchołek ( i zero krawędzi). Równanie Eulera daje wartość 1 – 0 + 1 = 2. W ten sposób kończymy dowód. Wszystkie opisane operacje zmieniały o taką samą liczbę ilość ścian i krawędzi, lub krawędzi i wierzchołków, a więc zachowywały równość Eulera. Na ostatniej pozycji daje ona wartość 2, to znaczy, że na pierwszej także jest równa 2.
Dla wszystkich figur przestrzennych, które można bez rozcinania i sklejania przekształcić w sferę równanie Eulera przyjmuje wartość 2. W topologii, do powstania której równanie Eulera się przyczyniło, bryły o tej samej wartości równania są jednakowe.
Korzystałem z książki Iana Stewarta – 17 równań, które zmieniły świat.
Korzystałem z książki Iana Stewarta – 17 równań, które zmieniły świat.