Czy pierwiastek kwadratowy z dwóch jest liczbą wymierną czy niewymierną? Takie pytanie padło w jednym z popularniejszych teleturniejów telewizyjnych. Przygotowany uczestnik spotkania udzielił poprawnej odpowiedzi stwierdzając, że jest to liczba niewymierna. Ale co to są te liczby niewymierne i skąd wiadomo, że ta odpowiedź jest właściwa? Warto chyba zacząć od określenia liczb wymiernych by później znaleźć ich zaprzeczenie. Wszystkie (no prawie) praktycznie używane liczby są wymierne. To te znajdujące się na różnych przyrządach mierniczych. W matematyce stwierdzamy, że każda liczba dająca się zapisać w postaci ułamka zwykłego jest liczbą wymierną. Pozostałe, które nie spełniają tego warunku, to liczby niewymierne, na przykład pi.
Z problemem liczb niewymiernych mieli już kłopot pitagorejczycy, którzy próbowali obliczyć (zmierzyć) długość przekątnej kwadratu o boku jeden.
Z problemem liczb niewymiernych mieli już kłopot pitagorejczycy, którzy próbowali obliczyć (zmierzyć) długość przekątnej kwadratu o boku jeden.
Dowód twierdzenia niewymierności pierwiastka z dwóch można znaleźć w podręczniku matematyki dla szkół ponadpodstawowych. Tutaj zaproponujemy taki.
Zakładamy*, że pierwiastek z dwóch jest liczbą wymierną i można go zapisać w postaci nieskracalnego ułamka o liczniku p i mianowniku q (r1). Podnosimy strony równania (r1) do kwadratu a otrzymane równanie (r2) mnożymy przez q kwadrat (r3) . W równaniu (r3) p kwadrat jest równe podwojonej wartości q kwadrat. Wynika stąd, że p kwadrat jest liczbą parzystą, czyli p także jest parzyste. Jeżeli zapiszemy p w postaci 2m, gdzie m to dowolna liczba całkowita większa od zera i podstawimy do równania (r3) otrzymamy: 4 m kwadrat równa się 2 q kwadrat (r4). Równie (r4) dzielimy stronami przez dwa i otrzymujemy równanie (r5) pokazujące, że q kwadrat równa się 2 m kwadrat, czyli q kwadrat jest parzyste, a to oznacza, że także q jest parzyste. Możemy więc uprościć ułamek p i q dzieląc każdą z wartości przez 2. W założeniu mieliśmy jednak ułamek nieskracalny, co doprowadziło do sprzeczności. Czyli nieprawdziwe jest także założenie o wymierności pierwiastka z dwóch. Stąd wniosek, że pierwiastek z dwóch jest liczbą niewymierną, co należało wykazać.
Na zakończenie warto nadmienić, że zarówno liczb wymiernych, jak i niewymiernych jest nieskończenie wiele. A jednak liczb niewymiernych jest więcej niż wymiernych. To przykład nierówności między nieskończonościami i temat na inne rozważania.
Zakładamy*, że pierwiastek z dwóch jest liczbą wymierną i można go zapisać w postaci nieskracalnego ułamka o liczniku p i mianowniku q (r1). Podnosimy strony równania (r1) do kwadratu a otrzymane równanie (r2) mnożymy przez q kwadrat (r3) . W równaniu (r3) p kwadrat jest równe podwojonej wartości q kwadrat. Wynika stąd, że p kwadrat jest liczbą parzystą, czyli p także jest parzyste. Jeżeli zapiszemy p w postaci 2m, gdzie m to dowolna liczba całkowita większa od zera i podstawimy do równania (r3) otrzymamy: 4 m kwadrat równa się 2 q kwadrat (r4). Równie (r4) dzielimy stronami przez dwa i otrzymujemy równanie (r5) pokazujące, że q kwadrat równa się 2 m kwadrat, czyli q kwadrat jest parzyste, a to oznacza, że także q jest parzyste. Możemy więc uprościć ułamek p i q dzieląc każdą z wartości przez 2. W założeniu mieliśmy jednak ułamek nieskracalny, co doprowadziło do sprzeczności. Czyli nieprawdziwe jest także założenie o wymierności pierwiastka z dwóch. Stąd wniosek, że pierwiastek z dwóch jest liczbą niewymierną, co należało wykazać.
Na zakończenie warto nadmienić, że zarówno liczb wymiernych, jak i niewymiernych jest nieskończenie wiele. A jednak liczb niewymiernych jest więcej niż wymiernych. To przykład nierówności między nieskończonościami i temat na inne rozważania.